mi curso mooc de estadistica inferencial 1

prueba de hipotesis de proporciones

Prueba de proporciones de una muestra

Cuando el objetivo del muestreo es evaluar la validez de una afirmación con respecto a la proporción de una población, es adecuado utilizar una prueba de una muestra. La metodología de prueba depende de si el número de observaciones de la muestra es grande o pequeño.

Como se habrá observado anteriormente, las pruebas de grandes muestras de medias y proporciones son bastante semejantes. De este modo, los valoresestadísticos de prueba miden la desviación de un valor estadístico de muestra a partir de un valor propuesto. Y ambas pruebas se basan en la distribución normal estándar para valores críticos. Quizá la única diferencia real entre las ambas radica en la forma corno se obtiene la desviación estándar de la distribución de muestreo.

Esta prueba comprende el cálculo del valor estadístico de prueba Z

Posteriormente este valor es comparado con el valor de Z, obtenido a partir de una tabla normal a un nivel de significación seleccionado.

Como ocurrió con la prueba de medias de una muestra, las pruebas de proporciones pueden ser de una o dos colas.

La primera alternativa establece una prueba de cola derecha, la segunda, izquierda y la tercera, una prueba de dos colas.

Ejemplo ilustrativo

En un estudio se afirma que 3 de 10 estudiantes universitarios trabajan. Pruebe esta aseveración, a un nivel de significación de 0,025, respecto a la alternativa de que la proporción real de los estudiantes universitarios trabajan es mayor de lo que se afirma, si una muestra aleatoria de 600 estudiantes universitarios revela que 200 de ellos trabajan. La muestra fue tomada de 10000 estudiantes.

Los datos son:

Como en los datos aparece el tamaño de la población, se debe verificar si el tamaño de la nuestra es mayor que el 5%. Se remplaza valores en la siguiente fórmula:

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:

El gráfico elaborado en Winstats y Paint se muestra a continuación:

Decisión:

prueba de hipotesis de la media

Prueba medias de una muestra

Se utiliza una prueba de una muestra para probar una afirmación con respecto a una media de una población única.

Nota: Se considera práctico utilizar la distribución t solamente cuando se requiera que el tamaño de la muestra sea menor de 30, ya que para muestras más grandes los valores t y z son aproximadamente iguales, y es posible emplear la distribución normal en lugar de la distribución t.

Ejemplos ilustrativos:

1) La duración media de una muestra de 300 focos producidos por una compañía resulta ser de 1620 horas.

Como se tiene como dato el tamaño de la población se tiene que verificar si cumple con la condición para utilizar el factor finito de corrección.

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente imagen:

El gráfico elaborado con Winstats y Paint se muestra en la siguiente imagen:

2) La duración media de lámparas producidas por una compañía han sido en el pasado de 1120 horas. Una muestra de 8 lámparas de la producciónactual dio una duración media de 1070 horas con una desviación típica de 125 horas.

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente imagen:

El gráfico elaborado con Winstats y Paint se muestra en la siguiente imagen:

Prueba de Hipótesis sobre la varianza

Prueba de Hipótesis sobre la varianza

Publicado por Cristobal Guerrero en 18:31

Estadístico:

ji-cuadrada



Ejemplo:
Un fabricante de detergente liquido esta interesado en la uniformidad de la maquina utilizada para llenar botellas de manera especifica es deseable que la varianza sea; 0.01 onzas² del liquido. Al tomar una muestra aleatoria de 20 botellas se obtiene una varianza muestral (s²) para el volumen de llenado de ese cuadrado s²=0.0153.(distribución normal)
El fabricante esta preocupado por que piensa que la variación del proceso es mayor que la variación histórica. Con un α=0.05, el fabricante tiene elementos que sustenten se preocupación?
1) H0: σ²≤0.01
H1: σ²≤0.01

2) Calcular valores críticos.


3)Decisión.


No hay evidencia estadística para no aceptar H0.

Conclusión: Existe evidencia que la varianza no es mayor al valor histórico por lo tanto, no es necesario hacer ajustes al proceso de llenado.

intervalo de confianza para la varianza de distrubucion normal

Intervalo de confianza para la varianza de una distribución Normal

Dada una variable aleatoria con distribución Normal N(μ; σ), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro σ, basado en una muestra de tamaño n de la variable.  A partir del estadístico la fórmula para el intervalo de confianza, con nivel de confianza 1 − α es la siguiente Donde χ2α/2 es el valor de una distribución ji-cuadrado con n − 1 grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de α/2. Por ejemplo, dados los datos siguientes: Distribución poblacional: Normal Tamaño de muestra: 10 Confianza deseada para el intervalo: 95 % Varianza muestral corregida: 38,5 Un intervalo de confianza al 95 % para la varianza de la distribución viene dado por: que resulta, finalmente

intervalo de confianza de proporciones

Dada una variable aleatoria con distribución Binomial B(n, p), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro p, basada en una observación de la variable que ha dado como valor x. El mismo caso se aplica si estudiamos una Binomial B(1, p) y consideramos el número de veces que ocurre el suceso que define la variable al repetir el experimento n veces en condiciones de independencia.

Existen dos alternativas a la hora de construir un intervalo de confianza para p:

• Considerar la aproximación asintótica de la distribución Binomial en la distribución Normal.
• Utilizar un método exacto.

Aproximación asintótica

Tiene la ventaja de la simplicidad en la expresión y en los cálculos, y es la más referenciada en la mayoría de textos de estadística. Se basa en la aproximación

que, trasladada a la frecuencia relativa, resulta

Tomando como estadístico pivote

 

que sigue una distribución N(0, 1), y añadiendo una corrección por continuidad al pasar de una variable discreta a una continua, se obtiene el intervalo de confianza asintótico:

donde z_α/2 es el valor de una distribución Normal estándar que deja a su derecha una probabilidad de α/2 para un intervalo de confianza de  (1 − α) · 100 %. Las condiciones generalmente aceptadas para considerar válida la aproximación asintótica anterior son:

El intervalo obtenido es un intervalo asintótico y por tanto condicionado a la validez de la aproximación utilizada. Una información más general sobre los intervalos de confianza asintóticos puede encontrase aquí.

Intervalo exacto

Aun cuando las condiciones anteriores no se verifiquen, es posible la construcción de un intervalo exacto, válido siempre pero algo más complicado en los cálculos. Es posible demostrar que un intervalo exacto para el parámetro p viene dado por los valores siguientes:

donde F_α/2,a,b es el valor de una distribución F de Fisher-Snedecor con a y b grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de α/2 para un intervalo de confianza de  (1 − α) · 100 %.

Una justificación de los intervalos de confianza exactos para distribuciones discretas puede encontrarse aquí.

En el programa siguiente se pueden calcular los intervalos de confianza asintótico y, si n es menor de 100, también el exacto para una proporción.